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Parte 1 di 3
“If P then Q” fails only when P is true and Q is false. Its contrapositive, “if not Q then not P”, is equivalent. Its converse reverses the direction and is not automatically true. Saying P is sufficient for Q means P guarantees Q; saying P is necessary for Q means Q requires P. In ordinary wording, “P only if Q” means if P then Q.
Apri immagine a grandezza naturaleMultiples of 6 lie inside multiples of 3 within the integers. The integer 3 lies outside multiples of 6, disproving the converse.
Original Weprepuni diagram
Esempio svolto
Consider the integer statement: if n is divisible by 6, then n is divisible by 3.
Proof: write n = 6k for an integer k. Then n = 3(2k), so n is divisible by 3. Divisibility by 6 is sufficient for divisibility by 3; divisibility by 3 is necessary for divisibility by 6.
The converse says that divisibility by 3 implies divisibility by 6. It fails at n = 3, which belongs to the larger set but not the smaller set in the diagram. One counterexample is enough to refute a universal converse.
The contrapositive says: if n is not divisible by 3, then n is not divisible by 6. This is equivalent to the original statement. It does not say that n is prime, odd, or positive. The domain here is all integers, including zero and negative integers.
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